Unidad 1 · Funciones y modelos de negocio
Funciones lineales: costos, ingresos y punto de equilibrio
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De la tabla de costos a la función
Una función es una regla que asigna a cada valor de entrada exactamente un valor de salida. En los negocios, casi todo lo que se mide depende de algo más: el ingreso depende de las unidades vendidas, el costo depende del volumen producido y la utilidad depende de ambos. La función más sencilla y, a la vez, la más usada en la planeación financiera es la función lineal, cuya forma general es:
f(x) = mx + b
Aquí m es la pendiente (cuánto cambia la salida por cada unidad adicional de entrada) y b es la ordenada al origen (el valor cuando x = 0). En un modelo de costos, la pendiente es el costo variable por unidad y la ordenada es el costo fijo.
Un caso: taller de playeras en Puebla
Un taller de serigrafía paga 12,000 MXN mensuales entre renta, luz y sueldo base (costo fijo). Cada playera cuesta 85 MXN en tela, tinta y mano de obra directa (costo variable) y se vende en 150 MXN. Con q como número de playeras al mes:
- Costo total: C(q) = 12,000 + 85q
- Ingreso: I(q) = 150q
- Utilidad: U(q) = I(q) − C(q) = 65q − 12,000
El número 65 es el margen de contribución unitario: lo que cada playera aporta para cubrir los costos fijos, es decir, 150 − 85.
El punto de equilibrio
El punto de equilibrio es el volumen en el que el ingreso iguala al costo, o sea, donde la utilidad es cero. Se obtiene resolviendo U(q) = 0:
65q − 12,000 = 0 ⇒ q = 12,000 ÷ 65 ≈ 184.6
Como no se pueden vender fracciones de playera, el taller necesita vender 185 piezas para no perder dinero. Comprobación: 65 × 185 = 12,025, y 12,025 − 12,000 = 25 MXN de utilidad. Con 184 piezas, 65 × 184 − 12,000 = −40 MXN: todavía hay pérdida.
| Playeras (q) | Costo total (MXN) | Ingreso (MXN) | Utilidad (MXN) |
|---|---|---|---|
| 0 | 12,000 | 0 | −12,000 |
| 100 | 20,500 | 15,000 | −5,500 |
| 184 | 27,640 | 27,600 | −40 |
| 185 | 27,725 | 27,750 | 25 |
| 300 | 37,500 | 45,000 | 7,500 |
Metas de utilidad
La misma ecuación sirve para fijar metas. Si el dueño quiere ganar 8,000 MXN al mes, resuelve 65q − 12,000 = 8,000, de donde q = 20,000 ÷ 65 ≈ 307.7; es decir, 308 playeras (con ellas la utilidad es 65 × 308 − 12,000 = 8,020 MXN).
La pendiente de una recta se calcula con dos puntos: m = (y2 − y1) ÷ (x2 − x1). Con los puntos (0; 12,000) y (100; 20,500) del costo, m = 8,500 ÷ 100 = 85.
Limitaciones del modelo
El modelo lineal supone que el precio y el costo unitario no cambian con el volumen y que el taller tiene capacidad para producir cualquier cantidad. En la práctica, los descuentos por volumen o la necesidad de contratar un segundo turno rompen la linealidad, pero el modelo sigue siendo un excelente primer filtro para decidir si un negocio es viable. En las siguientes lecciones relajaremos esos supuestos.